并行编程模型

• 共享内存模型

  • 锁，信号量（semaphore）

    • POSIX: shmget, shmctl,
    • Interconnect: SHMEM

  • 线程模型

    • pthreads.h， openMP

• 分布式内存的信息传输模型

  • MPI-3

• 数据并行模型

  • 分区全局地址空间（PGAS）

    • coarray fortran，UPC，Global array，X10，Chapel

并行库

• ESSL，parallel ESSL，MKL，TBB，AMCL，LAPACK，BLAS

Debug工具

• threaded，TotalViewer，DDT，Inspector，Stack Trace Analysis Tool

随机并行计算库

• SPRNG，R-streams，JAPARA，GCIMCA，DistMe/DistRNG，Dynamic Creation of MTPRNG

并行存储

• 并行文件系统

  • FhGFS，GPFS，Lustre，GFS，Hadoop

• 存储协议

  • iSCSI，AoE（ATA over Ethernet），FDR（Fiber Channel，14th data rate）

如何将标准主问题转化为对偶问题？

定理：主问题(P)

$$ \begin{align*} &\max && c^\top x \\ &s.t. && Ax=b \\ & && x\geq0 \end{align*} $$

的对偶问题(D)为

$$ \begin{align*} &\min && b^\top y \\ &s.t. && A^\top y\geq c \end{align*} $$

任何线性规划问题都可以写成标准形式，如下例：
非标准形式(P1)

$$ \begin{align*} &\max && d^\top x \\ &s.t. && Fx=0 \\ & && Ix\leq c \\ & && x\geq0 \end{align*} $$

引入松弛变量$x^\prime$，则有标准形式(P)

$$ \begin{align*} &\max && \begin{bmatrix}d\\0\end{bmatrix} ^\top \begin{bmatrix}x\\x^\prime\end{bmatrix} \\ &s.t. && \begin{bmatrix}I & 1\\F & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\x^\prime\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}c\\0\end{bmatrix} \\ & && \begin{bmatrix}x\\x^\prime\end{bmatrix}\geq0 \end{align*} $$

使用以上定理可以很容易得到对偶问题

对于最小化问题，可以先转为最大化问题再使用以上定理，也可以直接使用以下定理
定理：主问题(P)

$$ \begin{align*} &\min && c^\top x \\ &s.t. && Ax=b \\ & && x\geq0 \end{align*} $$

则有对偶问题(D)

$$ \begin{align*} &\max && b^\top y \\ &s.t. && A^\top y\leq c \end{align*} $$

python中的

p=re.compile(r"")
p.match("...")

只会从头匹配到尾，一般用于split之后的token的匹配，因此一般使用re.findall("...")，或直接替换用re.sub()

给定类似[!abc](sfsdfsdf)abc类型的字符串，如何把它替换成$abc？

s=re.sub(r"\!\[(.*)\]\(.*?\)\1",r"$\1$",s)

其中要对!，[]，()进行转义，使用?取消greedy模式，并可以在用来替换的raw字符串中使用capture到的group

?表示单个字符；*（star）表示任意数量的字符；**（global star）表示递归地匹配任意数量的字符，包括/；[aeiou]和正则表达式意义相同，但是匹配失败时会escape变回原意；[!aeiou]表示除了aeiou；{aeiou}匹配失败时不会变回原意，并且可以嵌套其他通配符，{a..z}匹配a到z
通配符是先解释，再执行。不匹配时，会原样输出。只适用于单层路径（除了global star）。文件名中可能出现通配符。

初始化动态二维矩阵

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
int** matrix(int height,int width,int initial)
{
    int **a=malloc(sizeof *a * height);
    printf("Initializing matrix of size %d X %d with initial value %d\n", height,width,initial);
    for(int i=0;i<height;i++)
    {
        a[i]=malloc(sizeof *(a[i]) * width);
        for(int j=0;j<width;j++)
        {
            a[i][j]=initial;
        }
    }
    printf("Printing the matrix...\n");
    for(int i=0;i<height;i++)
    {
        for(int j=0;j<width;j++)
        {
            printf("%d ",a[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
}
int main(void)
{
    int** m=matrix(4,5,0);
    return 0;
}

分析复杂变量声明

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<ctype.h>

#define MAXTOKEN 100

enum { NAME, PARENS, BRACKETS};

void dcl(void);
void dirdcl(void);

int gettoken(void);
int tokentype;
char token[MAXTOKEN];
char name[MAXTOKEN];
char datatype[MAXTOKEN];
char out[1000];

main()
{
    while (gettoken() != EOF) {
        strcpy(datatype, token);
        out[0] = '\0';
        dcl();
        if (tokentype != '\n')
            printf("syntax error\n");
        printf("%s: %s %s\n", name, out, datatype);
    }
    return 0;
}

/* dcl: parse a declarator */
void dcl(void)
{
    int ns;
    for (ns = 0; gettoken() == '*'; ) /* count *'s */
        ns++;
    dirdcl();
    while (ns-- > 0)
        strcat(out, " pointer to");
}

/* dirdcl: parse a direct declarator */
void dirdcl(void)
{
    int type;
    if (tokentype == '(') { /* ( dcl ) */
        dcl();
        if (tokentype != ')')
            printf("error: missing )\n");
    } else if (tokentype == NAME) /* variable name */
        strcpy(name, token);
    else
        printf("error: expected name or (dcl)\n");
    while ((type=gettoken()) == PARENS || type == BRACKETS)
        if (type == PARENS)
           strcat(out, " function returning");
        else {
            strcat(out, " array");
            strcat(out, token);
            strcat(out, " of");
        }
}


int gettoken(void)
{
    int c, getch(void);
    void ungetch(int);
    char *p = token;

    while ((c = getch()) == ' ' || c == '\t')
        ;
    if (c == '(') {
        if ((c = getch()) == ')') {
            strcpy(token, "()");
            return tokentype = PARENS;
        } else {
            ungetch(c);
            return tokentype = '(';
        }
    } else if (c == '[') {
        for (*p++ = c; (*p++ = getch()) != ']'; )
            ;
        *p = '\0';
        return tokentype = BRACKETS;
    } else if (isalpha(c)) {
        for (*p++ = c; isalnum(c = getch()); )
            *p++ = c;
        *p = '\0';
        ungetch(c);
        return tokentype = NAME;
    } else
        return tokentype = c;
}

#define BUFSIZE 100

char buf[BUFSIZE];
int bufp = 0;

int getch(void)
{
    return (bufp >0) ? buf[--bufp] : getchar();
}

void ungetch(int c)
{
    if (bufp >= BUFSIZE)
        printf("üngetch: too many characters\n");
    else
        buf[bufp++] = c;
}

打印进度条

void progress_bar(const int n, const int tot)
{
    int i, pgr = n*50/tot, rem = (tot-n)*50/tot;
    printf("\r[");
    for (i=0; i<pgr; i++)
        printf("#");
    for (i=0; i<rem; i++)
        printf("-");
    printf("]");
}

lambda表达式

#define lambda(lambda$_ret, lambda$_args, lambda$_body)\
  // 语句表达式
  ({\
    lambda$_ret lambda$__anon$ lambda$_args\
      lambda$_body\
    lambda$__anon$;\ // 返回值
  })

注释切换代码

#include<stdio.h>
int main(){
/**
  printf("1\n");
/*/
  printf("2\n");
//*/

/**/
  printf("3\n");
/*/
  printf("4\n");
//*/
    return 0;
}

录制宏

qq
x
x
<Esc>
q

执行宏

@q

分屏

:sp filename
:vsp filename
<Ctrl + w>
v
<Ctrl + w>
s
<Ctrl + w>
h
<Ctrl + w>
l
<Ctrl + w>
j
<Ctrl + w>
k

跳转到历史编辑位置

<Ctrl + o>
<Ctrl + i>

在当前目录下的文件的内容中递归地搜索abc，跳转到下一个搜索到的内容

:vimgrep abc **/*.*
:cnext

删除到第20行

d20G

跳转到上一段，下一段

{
}

防止粘贴引起缩进混乱

:set paste

不退出vim编译运行代码

:!gcc test.c
:! a

编辑多行

<Ctrl-v>
"move to the last line
<Shift-I>
"edit
<Esc>

加密文件

:X
"输入密码

自动补全<Ctrl-n>

合并多个行
按V并移动，选中要合并的行

:j

合并两行：<Shift-j>

在新tab中打开文件

:tabnew filename

跳转tab

gt
gT

把制表符换成空格

:retab

比较文件

vimdiff file1 file2
:vert diffsplit file2

<Ctrl-u> 向上跳转
<Ctrl-d> 向下跳转
<Ctrl-f> 向前跳转
<Ctrl-b> 向后跳转

手动安装插件

:set runtimepath? "如果怕麻烦直接粘贴到这里的任一路径中
"set runtimepath^=~/.vim/bundle/ctrlp.vim "或添加到.vimrc里

查找替换

:{作用范围}s/{目标}/{替换}/{替换标志}
:%s/foo/bar/g
"替换当前行及之后共3行中的内容
:.,.+3s/foo/bar/g

重构代码

"跳转到变量定义处
gd
"跳转到上一个大括号
[{
"跳转到互补的括号
%
"生成当前搜索正在使用的正则表达式
<Ctrl-r>/
"使用ctags生成代码索引
!ctags -R
"跨文件查找定义位置
<Ctrl-]>
"返回旧的文件
<Ctrl-t>

"sudo apt install global #使用gtags生成索引
"gtags -v
:set csprg=gtags-cscope
:cs add GTAGS

在用Ctrl-V选中的Visual Block中查找替换

"替换掉Visual Block中所有空格
"在选中后按:
:'<,'>s/\%V\s\%V//g

查看二进制文件

:set binary
:%!xxd -p
:%!xxd -p -r
:w

切换编码格式

:set enc        " 查看当前编码格式
:e ++enc=cp1252 " 重载为masm32 editor默认编码
:e ++enc=gb2312 " 重载为windows汉字编码
:w ++enc=utf-8  " 保存为utf-8格式

自动补全与拼写检查

:set spell spelllang=en  " 打开拼写检查
:set nospell             " 关闭拼写检查
]s                       " 找到下一个错误拼写单词
z=                       " 拼写建议
zg                       " 把未识别单词加入字典
<Ctrl-n>                 "<Ctrl-p> 自动补全

undo tree

:earlier 10              " 恢复到10分钟之前的状态
:later 10                " 恢复到10分钟之后的状态
g-                       " 按时间向前恢复
g+                       " 按时间向后恢复

输入希腊字母

<Ctrl-k>
t*

配置文件

syntax enable
set expandtab
set smarttab
set shiftwidth=4
set tabstop=4
set ai
set si
set wrap
set fileencodings=ucs-bom,utf-8,utf-16,gb2312,gbk,big5,gb18030,latin1
set encoding=utf8
filetype plugin on
filetype indent on
set history=5000
set autoread
set so=7
let $LANG='en'
set langmenu=en
set ruler
set nu
set hid
set ignorecase
set smartcase
set hlsearch
set incsearch
set lazyredraw
set magic
set showmatch
set mouse=a
set undofile
set undodir=~/.vim/undodir
set backupdir=~/.vim/backupdir
set directory=~/.vim/swapdir

set noerrorbells
set novisualbell
"set spell spelllang=en
set autochdir
colorscheme industry
"以下为rust-analyzer和ALE插件
filetype plugin indent on
let g:ale_linters = {'rust': ['analyzer']}
set completeopt=menu,menuone,preview,noselect,noinsert
let g:ale_completion_enabled = 1

"以下为cscope需要的设置
set csprg=gtags-cscope
set cscopequickfix=s-,c-,d-,i-,t-,e-
set csto=0
set cscopetag
set cst
if filereadable("GTAGS")
  cs add GTAGS
elseif $CSCOPE_DB != ""
  cs add $CSCOPE_DB
endif
set tags=./tags,tags;
" 记住上次打开的位置
if has("autocmd")
  au BufReadPost * if line("'\"") > 1 && line("'\"") <= line("$") | exe "normal! g'\"" | endif
endif

数学分析

1. 当题目中有关于积分的不等式时，可以考虑构造一个原函数$F(x)$使$F^{\prime}(x)$有不等式的形式，如$F(x)=x\int_{x}^{1}f(y)dy$或直接求它的导函数$f^{\prime}(x)$；使用积分中值定理（与积分面积相等的矩形必与曲线相交于一点$(\xi,f(\xi))$）
2. 当题目中有等式或函数某点值时，可考虑拉格朗日中值定理和罗尔定理.（拉格朗日中值定理与一阶泰勒公式等价.）
3. 题目中有定积分时可考虑将常数项凑成定积分.
   
4. 注意定义域.
5. $$(\ln(x+\sqrt{x^{2}\pm1}))^{\prime}\\=\frac{1}{\sqrt{x^{2}\pm1}}$$ $$(\arcsin x)^{\prime}\\=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$$ $$(\frac{1}{2}x\sqrt{x^{2}\pm1}\pm\frac{1}{2}\ln|x+\sqrt{x^{2}\pm1}|)^{\prime}\\=\sqrt{x^{2}\pm1}$$ $$(\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^{2}}+\frac{1}{2}\arcsin x)^{\prime}\\=\sqrt{1-x^{2}}$$(可用dx中的x分部积分得出)
6. 分部积分时设积分结果为$I$，要尽量凑出$I$以构成关于$I$的方程，如$I=\int_{0}^{\frac{m\pi}{2}}\sin^{n}xdx$要尽量使右侧出现$\sin x$.
7. 能用三角解决的不要用无理式，有$\sin^{2}x$，$\cos^{2}x$可凑$\tan^{2}x$，有$\frac{1}{\cos^{2}x}dx$可凑$d(\tan x)$，有$\sqrt{1-x^{2}}$可换$\sin t$，想办法凑$\tan t$.
8. $\int\frac{du}{(\frac{u}{2})^{2}+1}\neq\arctan\frac{u}{2}$不要忘记积分变量与变量一致性.
9. 积分结果一定要求导验证.
10. 能拆出常数项或多项式项的要先拆后积分，如$$\int\frac{du}{(2u-1)(u^{2}+1)}=\int\frac{u^{2}+1-u^{2}}{(2u-1)(u^{2}+1)}du$$ 从高阶开始配凑，也可使用待定参数，令$$\frac{1}{(2u-1)(u^{2}+1)}=A\frac{1}{2u-1}+B\frac{u}{u^{2}+1}+C\frac{1}{u^{2}+1}$$解得$$A=\frac{4}{5},B=-\frac{2}{5},C=-\frac{1}{5}$$
    归纳：分母要化为$$(A_{1}x+B_{1})^{n}(A_{2}x^{2}+B_{2})(A_{3}x^{2}+B_{3}x+C_{3})$$时，若后两式不能因式分解则最简分量必有$$\frac{1}{(A_{1}x+B_{1})^{n}},\frac{x}{A_{2}x^{2}+B_{2}},$$ $$\frac{1}{A_{2}x^{2}+B_{2}},$$ $$\frac{x}{A_{3}x^{2}+B_{3}x+C_{3}},\frac{1}{A_{3}x^{2}+B_{3}x+C_{3}}$$.
11. 柯西不等式$[\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx]^{2}\leq\int_{a}^{b}[f(x)]^{2}dx\cdot\int_{a}^{b}[g(x)]^{2}dx$.
12. 直线$l$ $\frac{x-x_{0}}{a}=\frac{y-y_{0}}{b}=\frac{z-z_{0}}{c}$方向向量为$\vec{l}=(a,b,c)$，经过点$L(x_{0},y_{0},z_{0})$，点 $M$ 到 $l$ 的距离为 $d=\frac{|\vec{l} \times \vec{L}|}{|\vec{l}|}$ .
13. 一条直线与另外两条直线相交，它们的方向向量没有直接关系，也不能联立两直线求交点，认为它在第三条直线上，因为交点可能有两个.
14. 若$f(x,y)$在$(x,y)$点可微，则$f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)=f'_{x}(x,y)\Delta x+f'_{y}(x,y)\Delta y=O(\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}})$.
15. $\frac{d}{dy}f(0,y)|_{y=0}=\lim\limits_{\Delta y\to0}\frac{f(0,\Delta y)-f(0,0)}{\Delta y}=\lim\limits_{\Delta y\to0}[\frac{f(x,\Delta y)-f(x,0)}{\Delta y}]_{x=0}=\frac{\partial}{\partial y}f(x,y)|_{(0,0)}$，因此可在求偏导前对无关变量赋值.
16. 设$\vec{l}$与$x,y,z$轴夹角分别为$\alpha,\beta,\gamma$，则函数$u(x,y,z)$沿$\vec{l}$方向的方向导数为
    $$ \frac{\partial u}{\partial\vec{l}}=\frac{\partial u}{\partial x}\cos\alpha+\frac{\partial u}{\partial y}\cos\beta+\frac{\partial u}{\partial z}\cos\gamma $$.
17. $[f(u(x,y),v(x,y))]_{x}^{\prime}=f_{1}^{\prime}u_{x}^{\prime}+f_{2}^{\prime}v_{x}^{\prime}.$
18. $u(x,y,z)$在$\nabla u$方向上的方向导数最大，值为$|\nabla u|$.
19. $f_{x}^{\prime}(x,y,z)$ $(z=z(x,y))$ $\neq$ $\frac{\partial}{\partial x}[f(x,y,z(x,y))]$.
20. $\varphi_{x}^{\prime}(2x^{2})=\varphi^{\prime}(2x^{2})\cdot4x$.
21. 当$f_{12}^{\prime\prime}=f_{21}^{\prime\prime}$时,最后结果应合并.
22. 隐函数求导之前应将所有$z=z(x,y)$标记出来以免遗忘.
23. 多项式要统一格式，如$x-y,y-x$应统一为$x-y,-(x-y)$.
24. 求导要一步一步地求，不要跳步.
25. 对$f(x,y)=0$可用全微分为0得到$\frac{dy}{dx}=-\frac{f_{x}^{\prime}}{f_{y}^{\prime}}$.
26. $\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}$
    $=\begin{pmatrix}\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}\end{pmatrix}$
    $=\begin{pmatrix}\frac{\partial x}{}\\ \frac{\partial y}{}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{}{\partial u} & \frac{}{\partial v}\end{pmatrix}$.
27. 曲线$(x(t),y(t),z(t))$在$(x,y,z)$点切线方向向量为$(x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime})$.
28. 曲面$f(x,y,z)=0$在$(x,y,z)$点法线方向向量为$(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z})$.
29. $\vec{a}=(x_{1},y_{1},z_{1})$，$\vec{b}=(x_{2},y_{2},z_{2})$方向相同$\Rightarrow$ $\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{y_{1}}{y_{2}}=\frac{z_{1}}{z_{2}}$ $\nRightarrow$ $\begin{cases}x_{1}=x_{2}\\y_{1}=y_{2}\\z_{1}=z_{2}\end{cases}$
30. 求函数在曲面上的最值(条件最值)，因最值点一定在曲面上，可将曲面作为乘子引入，令$F=(\ln)f(x,y,z)+\lambda\cdot g(x,y,z)$(拉格朗日乘子法).
31. 海伦公式：$S=\sqrt{\frac{L}{2}(\frac{L}{2}-a)(\frac{L}{2}-b)(\frac{L}{2}-c)}$.
32. $z(x,y)$在$(x_{0},y_{0})$处满足$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial y}=0$，$A=\frac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}},B=\frac{\partial^{2}z}{\partial x\partial y},C=\frac{\partial^{2}z}{\partial y^{2}}$，若：1.$B^{2}-AC<0$, $1^{\circ}$.$A>0$，取极小值，$2^{\circ}$.$A<0$，取极大值；2.$B^{2}-AC>0$，非极值点.
33. 对$f(x,y)$若$\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}=0$，则$\frac{\partial f}{\partial y}=\int0dx=\varphi(y)$，$f=\int\varphi(y)dy=\psi(y)+C(x)$，对变量$x$积分会出现$\varphi(y)$.
34. 不要把法向量与$(\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z})$划等号，它们是共线关系.
35. 多重积分时，$x$的上下限为区域画横线，$y$的上下限为区域画竖线.
36. 曲面面积$S=\iint\sqrt{1+(z_x^{\prime})^2+(z_y^{\prime})^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$
37. $(x^2)^{\frac{3}{2}}\neq x^3$
38. 函数奇偶性，周期性结合积分上下限可极大简化运算
39. 多重积分$ \int \mathrm{d}x \int \mathrm{d}y \int f \mathrm{d}z$中y的上下限由对z积分后降维图形区域范围确定
40. 转动惯量$ I=\iiint r^2\rho\mathrm{d}V$
41. 开根号一定要加绝对值
42. 不要轻易破坏对称性用于化简，如$ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sin\theta\cos^3\theta\mathrm{d}\theta$因$\sin\theta\cos^3\theta$为奇，得积分为0
43. $\int_C P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$与路径无关$\Leftrightarrow\oint_CP\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y =0\Leftrightarrow P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y=\mathrm{d}u\Leftrightarrow\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$，设$\vec{F}=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)),\\ \mathrm{d}\vec{l}=(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y,\mathrm{d}z),\\ \oint_L\vec{F}\mathrm{d}\vec{l}=\oint_LP\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y +R\mathrm{d}z =\iint_\Sigma\nabla \times\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{\sigma}$
    对于可分离出保守场的积分要进行分离以简化运算
44. 设平面$\Sigma(x,y,z)$法向量为$\vec{p}=(A,B,C)$面积为S，则它在$\vec{n}=(\alpha,\beta,\gamma)$方向降维后面积为$S^{\prime}=S\frac{\vec{n}\cdot\vec{p}}{|\vec{n}|\cdot|\vec{p}|}$，其中$\vec{p}$的方向与围成$\Sigma$的封闭曲线有关，从z轴正向看即从z的正无穷处向下看，逆时针则$\vec{p}$向上
45. 求体积分和平面积分时，不要用边界条件化简被积函数
46. 无穷级数若可展开为$\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}+\cdots$则应展开后根据最低阶判断收敛性（比较判别法的极限形式）没有$\frac{1}{n}$可先凑出$\frac{1}{n}$；可积分时使用积分判别法；带有$p^n$时考虑$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}$判别（根值判别法）
47. 使用洛必达后再用级数展开会引起系数错误，如$1-\frac{\sin x}{x}$

48. 交错级数：

    1. 求$\lim\limits_{n\to\infty}|a_n|$，不为0则不收敛，再看是否绝对收敛
    2. 求$a_n$与$a_{n+1}$大小关系，若$a_n>a_{n+1}$，条件收敛
49. $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}=\ln n+c+r_n$，c为欧拉常数，$r_n\to0,\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$
50. $\because \frac{\ln n}{n}>\frac{1}{n}, (n\geq3), \therefore\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{\ln n}{n}$发散
51. 一阶线性微分方程$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x)$先解齐次方程通解$y=C_1e^{-\int P(x)\mathrm{d}x}$令$C_1=C_1(x)$将通解代入非齐次方程得$y=e^{-\int P\mathrm{d}x}[c+\int Q\mathrm{e}^{\int P\mathrm{d}x}\mathrm{d}x]$
52. 复杂级数先求导或积分再求幂级数
53. $b_n=\frac{2}{T}\int_0^Tf(x)\sin\frac{n\pi x}{T}\mathrm{d}x$ （延拓）， $b_n=\frac{2}{2T}\int_{-T}^Tf(x)\sin\frac{n\pi x}{T}\mathrm{d}x$
54. 和差化积$$\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\\ \cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$$
55. 解一阶非线性方程时，将x和y凑到一起再进行换元，如$(x+y)y^{\prime}+(x-y)=0$ ，令$u=\frac{y}{x},y^\prime=\frac{u-1}{u+1}$
56. 定积分不要忘记减下限
57. $P(y,x)\mathrm{d}x+Q(y,x)\mathrm{d}y=0$形式的方程：先看$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$是否成立，成立则用线积分，或考虑积分因子；再看是否可化为$y^\prime+Py=Q$形式，可以就用公式；最后看是否可分离变量，换元
58. 曲率$\kappa={|\frac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}s}|}=\frac{\mathrm{d}(\arctan y^\prime)}{\sqrt{1+y^{\prime2}}\mathrm{d}x}=\frac{|y^{\prime \prime}|}{(1+y^{\prime2})^{\frac{3}{2}}}$
59. 方程$y^{\prime \prime}+Py^\prime+qy=P_m(x)\mathrm{e}^{ax}$，特解为$y^*=x^kQ_m(x)\mathrm{e}^{ax}$,k为$\mathrm{e}^{ax}$根重数，m为阶数
60. 方程$y^{\prime \prime}+Py^\prime+qy=P_m(x)\mathrm{e}^{ax}\sin bx$，特解为$y^*=x^k(R_m(x)\cos bx + S_m(x)\sin bx)\mathrm{e}^{ax}$，k与a无关，k为$a+ib$的根重数
61. 解伯努利方程$y^\prime+P(x)y=q(x)y^n$应令$z=y^{1-n}$ ；解欧拉方程$x^2\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}+a_1x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+a_2y=f(x)$ ，令$x=\mathrm{e}^t$
62. 逆序数：从左到右每个数右边小于它的个数之和
63. $\int_0^{+\infty}\frac{f(x)}{x^p}\mathrm{d}x=\lim\limits_{\epsilon\to0}\int_\epsilon^{1}\frac{f(x)}{x^p}\mathrm{d}x+\lim\limits_{N\to+\infty}\int_1^{N}\frac{f(x)}{x^p}\mathrm{d}x$可判断敛散性，利用极限由洛必达法则还可求出等价积分式；当p<1时，$\int_0^1\frac{1}{x^p}\mathrm{d}x$存在，当p>1时，$\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^p}\mathrm{d}x$存在
64. 前n-1阶导数为0，第n阶不为0$\begin{cases}若n为奇，拐点\\若n为偶，极值点\end{cases}$
65. 拐点只能在二阶导数为0或不存在的点取到；极值点只能在驻点或导数不存在的点取到
66. $f(x,y)$在$(x,y)$点最大方向导数为$|\vec{\nabla}f|$（模）
67. 代数运算时应把x写在一起，把y写在一起减少失误
68. 出现$f(x)+f^\prime(x)$时考虑构造$g(x)=f(x)\mathrm{e}^x$
69. 解非齐次线性方程组时不要直接找线性无关解向量，应先转化为齐次线性方程组找到线性无关解再结合特解得到通解
70. $S=\frac{1}{x}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\neq\int\frac{1}{x}\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^{2n}\mathrm{d}x$提出的x在求导时会影响结果，应令$S=\frac{1}{x}f(x),f^{\prime}(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^{2n}$
71. $+\infty$和$-\infty$可能对应两条水平渐近线或一条，奇点处常有一条垂直渐近线，有两条水平渐近线就不可能有斜渐近线
72. $f(x,y)$在$(x_0,y_0)$可微$\Leftrightarrow\Delta z=z_x^\prime\Delta x+z_y^\prime \Delta y+O(P)\Leftarrow f^\prime_x, f^\prime_y连续$
73. 读题要仔细，不要把$\mathrm{e}^{x^2}$看成$\mathrm{e}^{-x^2}$
74. 分清收敛区间（开区间）和收敛域
75. 单调有界$\Rightarrow$收敛
76. $\frac{f(x)}{\vec{n}} = \nabla f(x)^T \vec{n}$
77. 鞍点$(x_0,y_0)$：$f(x,y_0)\leq f(x_0,y_0)\leq f(x_0,y)$
78. $\sum_{i}^{}\sum_{j}A_{ij}X_{i}X_{j} = \sum_{i}^{}\sum_{j}X_{i}A_{ij}X_{j} = \sum_iX_i \sum_jA_{ij}X_j = \sum_iX_i[AX]_i = X^T[AX]$
79. 矩阵微积分方法：先正常求导，注意非交换性，再对结果取转置。求导法则：$dy=\mathrm{tr}(\frac{dy}{d\mathbf{X}}d\mathbf{X})$，$d({\mathbf{X}\otimes\mathbf{Y}})=(d\mathbf{X})\otimes\mathbf{Y}+\mathbf{X}\otimes(d\mathbf{Y})$，$d({\mathbf{X}\odot\mathbf{Y}})=(d\mathbf{X})\odot\mathbf{Y}+\mathbf{X}\odot(d\mathbf{Y})$，$d(\mathbf{X}^{-1})=-\mathbf{X}^{-1}(d\mathbf{X})\mathbf{X}^{-1}$，$d(\mathrm{tr}(\mathbf{X}))=\mathrm{tr}(d\mathbf{X}))$ ，$d(|\mathbf{X}|)=\mathrm{tr}(adj(\mathbf{X})d\mathbf{X})=|\mathbf{X}|\mathrm{tr}(\mathbf{X}^{-1}d\mathbf{X})$ ，$df(x,\mathbf{y},\mathbf{Z})=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial \mathbf{y}}d\mathbf{y}+\mathrm{tr}(\frac{\partial f}{\partial \mathbf{Z}}d\mathbf{Z})$ 例子： $\dfrac{\partial (b^Tx)}{\partial x} = (\dfrac{b^T dx}{dx})^T = b$ , $\dfrac{\partial (x^TAx)}{\partial x} =(\dfrac{d(x^T)Ax+x^TAdx}{dx})^T=(\dfrac{x^TA^Tdx+x^TAdx}{dx})^T= (A+A^T)x$ 其中，$\odot$是Hadamard积，$\otimes$是Kronecker积

线性代数

1. 左/右乘逆矩阵$\Leftrightarrow$增广行/列变换；行/列增广时，逆矩阵的原矩阵的放在左边/上边
2. 行列式为0$\Leftrightarrow$齐次线性方程组有非0解
3. 齐次线性方程组可写成列向量线性组合和行向量点乘形式
4. 实对称阵，不同特征值对应的不同特征向量正交
5. 实对称$\Rightarrow$相似于对角阵；n个不同特征值$\Rightarrow$ 相似对角；n个特征向量线性无关$\Leftrightarrow$ 相似对角
6. $\sum\limits_{i=1}^n\lambda_i=\sum\limits_{i=1}^na_{ii}=tri(A),\prod\limits_{i=1}^n\lambda_i=|A|$ ，相似$\Rightarrow$同秩，同特征值，同行列式
7. 设特征向量$\alpha_1,\alpha_2\cdots\alpha_n$对应特征值$\lambda_1,\lambda_2\cdots\lambda_n$ ，则$[\alpha_1\cdots\alpha_n]^{-1}A[\alpha_1\cdots\alpha_n]=\left[\begin{matrix}\lambda_1&\cdots&0\\0&\cdots&0\\\vdots&&\vdots\\0&\cdots&\lambda_n\end{matrix}\right]=\Lambda$
8. 一个特征值至少有一个特征向量
9. $A=\left[\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right],A^*=\left[\begin{matrix}d&-b\\-c&a\end{matrix}\right],A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{matrix}d&-b\\-c&a\end{matrix}\right]$
10. 标准型可与相似对角阵无关，但满足惯性定律
11. $AX=B$有解$\Leftrightarrow \mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(\bar{A})$ 其中$\bar{A}=[A|B]$为增广矩阵
12. 绕y轴旋转的绕点会构成一个以y轴为圆心的圆，即$\sqrt{x^2+z^2}=r$，y坐标不变，因此$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\Rightarrow\frac{x^2+z^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$
13. 非实对称阵无对应的正交对角化阵，即不存在$P^TP=E$，使$P^{-1}AP=\Lambda$（其中A为任一非对称阵）
14. 若$\alpha$为单位向量，即$\alpha^T\alpha=1$，则$\alpha(\alpha^T\cdot\alpha)=\alpha\cdot1=1\cdot\alpha$，即1为$\alpha\alpha^T$的唯一非零特征值
15. 矩阵与对角阵相似时，对角阵中特征值顺序不影响。矩阵A特征值$\lambda_1\cdots\lambda_n$，则$A\sim\left[\begin{matrix}\lambda_1&\cdots&0\\0&\cdots&0\\\vdots&&\vdots\\0&\cdots&\lambda_n\end{matrix}\right]\Leftrightarrow$有n个线性无关特征向量$\Leftrightarrow\lambda_1=\cdots=\lambda_n(=\lambda)$时，$A-\lambda E$秩为n-r（r重根）
16. 平面图形或线图形绕轴旋转应找到三维坐标与平面某长度关系
17. 看到$a_{ij}$先想到转化成矩阵
18. 环——(+乘法逆元)——>体——(+乘法交换律)——>域。域一定是环，二者的差别在于乘法群：一方面集合差一个元素0，另一方面一个是环的乘半群，一个是交换群
19. ${\displaystyle \delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}={\begin{cases}+1&\quad {\text{if }}\nu _{1}\dots \nu _{p}{\text{ are distinct integers and are an even permutation of }}\mu _{1}\dots \mu _{p}\\-1&\quad {\text{if }}\nu _{1}\dots \nu _{p}{\text{ are distinct integers and are an odd permutation of }}\mu _{1}\dots \mu _{p}\\\;\;0&\quad {\text{in all other cases}}.\end{cases}}}$
20. $\frac{\partial x^TAx}{x}\\=\frac{\partial x_i A_j^i x^j}{\partial x^k}\\=\frac{\partial x_i}{\partial x^k}A_j^i x^j+x_i A_j^i \frac{\partial x^j}{\partial x^k}\\=\delta_i^k A_j^i x^j+ x_i A_j^i \delta^{jk}\\=A_j^k x^j+x_i A_j^i \delta^{jk} \delta_{kk} \delta^{kk}\\=A_j^k x^j+x_i A_j^i \delta^{j}_k \delta^{kk}\\=A_j^k x^j+x_i A_k^i \delta^{kk}\\=A_j^k x^j+\delta_{ii}x^i A_k^i \delta^{kk}\\=Ax+A^Tx$

概率论与数理统计

1. 随机事件常用技巧：加一个有的，$(A+B)+B=C+B$；乘一个有的，$(AB)B=CB$；拆成独立事件
2. $C_0^0$不存在，当$P(B)=0$时，$P(A|B)$不存在
3. 贝叶斯公式：$P(H|X)=\frac{P(X|H)P(H)}{P(X)}$ ，其中$P(H|X)$ 是参数的后验概率（posterior），$P(X|H)$ 是似然函数（likelihood/参数的合理性大小），$P(H)$ 是先验概率（prior），$P(X)$ 是证据因子（evidence），用于归一化
4. 切比雪夫大数定律：$P\left\{偏差比\epsilon大\right\}\leq\frac{方差}{\epsilon^2}$；依概率收敛$n\rightarrow+\infty$时，偏差小于任意小常数；切比雪夫大数定律：$n\rightarrow+\infty$时，总偏差的平均值小于任意小常数；伯努利大数定律：为二项分布时大数定律的特例；辛钦大数定律：二项分布且$E(x_i)=\mu$时大数定律的特例；棣莫弗-拉普拉斯中心极限定律：二项分布当n很大时，$\frac{偏差}{标准差}$服从正态分布；列维-林德伯格中心极限定理：$\sqrt{n}\frac{总偏差的平均值}{标准差}$服从正态分布
5. $D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2\mathrm{Cov}(x,y)$
6. $\sigma$和$\sigma^2$ 注意区分，指数分布$P(x)=\lambda\mathrm{e}^{-\lambda x},E(X)=\frac{1}{\lambda},D(X)=\frac{1}{\lambda^2}$泊松分布$P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}\mathrm{e}^{-\lambda},E(X)=D(X)=\lambda$
7. $X+Y\sim N(2\mu,2\sigma^2),X-Y\sim N(0,2\sigma^2)$，X，Y满足独立，正态分布
8. $\int_0^{+\infty}x^n\mathrm{e}^{-x}\mathrm{d}x=n!,\int_0^{+\infty}\frac{x^n}{n!}\mathrm{e}^{-x}\mathrm{d}x=1$
9. 正态分布运算法则：$D(X_1+X_2+X_3)=3\sigma^2,D(X_1+2X_2)=\sigma^2+4\sigma^2$
10. 正态总体的抽样分布中，$\bar{X}$与$S^2$相互独立（$\mu=0,\sigma=1$）$n\bar{X}^2\sim\chi^2(1),(n-1)S^2\sim\chi^2(n),E(\chi^2(n))=n,D(\chi^2(n))=2n$
11. 若$X\sim\chi^2(n)$，则2X不服从$\chi^2$分布，因此先化系数
12. 计算正态分布概率大小要化成标准正态分布再比较
13. 加和规则：$p(X)=\sum\limits_X p(X,Y)$ 乘积规则：$p(X,Y)=p(Y|X)p(X)$
14. 一维正态分布：$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\mathrm{e}^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$，n维正态分布：$f_n(\vec{x})=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^n\det(\Sigma)}}\exp (-\frac{1}{2}(\vec{x}-\vec{\mu})^T\Sigma^{-1}(\vec{x}-\vec{\mu}))$ 。对二维正态分布，取$x_1=x_0,-\infty<x_2<+\infty$的 一个平面去截此二维分布曲线，得到的函数曲线设为$g(x_2)$，在全空间积分结果不为1，而是$x_1$的边缘概率分布$f_n(x_1)$在$x_1=x_0$点的值
15. 对于一个有K个结点的图，联合概率为$p(\textbf{x})=\prod\limits_{k=1}^Kp(x_k|pa_k)$ ，其中$pa_k$ 表示$x_k$ 的父结点的集合，$\textbf{x}$ 是所有结点的集合
16. 似然函数$L(\theta|\textbf{x})$ 与概率密度函数$f(\textbf{x}|\theta)$ 的唯一区别是似然函数中$\textbf{x}$ 是已知的给定样本点，$\theta$ 是变量
17. 准确率Precision是分为正例的样本中正确比例:$P=\frac{tp}{tp+fp}$ ，召回率Recall是实际为正例的样本中正确比例:$R=\frac{tp}{tp+fn}$ ，F-measure:$\frac{2PR}{P+R}$ ，精确度Accuracy是正确分类的样本占总体的比例:$A=\frac{tp+tn}{tp+fp+tn+fn}$
18. 衡量聚类结果好坏的指标 纯度Purity:$Purity=\frac1N\sum\limits_{i=1}^k\max_j|c_i\cap t_j|$ ，其中k是聚类个数，$c_i$ 是一个聚类，$t_j$ 是实际类 兰德指数Rand:$Rand=\frac{a+c}{n(n-1)/2}$ ，其中a是两点聚在同一类且正确的点对个数，c是两点聚在不同类且正确的点对个数，n是测试集的大小
19. $\prod\limits_{i\in I}(1+x_i)=\sum\limits_{J\subseteq I}\prod\limits_{j\in J}x_j$
20. 离/偏差：deviation 方差：variance 标准差：standard deviation 平均差：mean deviation
21. 皮尔逊相关系数$\rho_{x,y}$ $= \frac{x和y的协方差}{(x的标准差 * y的标准差)} = \frac{\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n(y_i-\bar{y})^2}}$

最优化方法

1. 当$f(x)$满足$f(x_2)-f(x_1)\geq \nabla f(x_1)(x_2-x_1)$ 时，或$\nabla^2 f(x)$ 是半正定阵/正定（特征值$\geq / >$ 0）时，$f(x)$是凸函数/严格凸函数
2. 如果$\frac{\partial f}{\partial x} (x_0,y_0) = \frac{\partial f}{\partial y} (x_0,y_0)=0, \Delta=\{\frac{\partial^2f}{\partial x^2} \frac{\partial^2f}{\partial y^2} - (\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y})^2\}_{(x_0,y_0)}$ ，1.若$\Delta>0$且$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} (x_0,y_0) <0 / \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} (x_0,y_0)<0$ ，则$(x_0,y_0)$是局部最大值点 2.若$\Delta>0$且$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} (x_0,y_0) >0 / \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} (x_0,y_0)>0$ ，则$(x_0,y_0)$是局部最小值点 3.若$\Delta<0$则$(x_0,y_0)$为鞍点
3. 局部极小点处满足下降方向集与可行方向集的交是空集，下降方向与可行方向不在过原点的任何超平面的同一侧，由Gordan引理可得目标函数$f(x)$梯度与约束函数$c_i(x)$梯度关于非负系数线性相关，等式约束组合系数任意，不等式约束组合系数非负，而当$i\in I^*$时，$c_i(x^*)=0$，$i\in I\backslash I^*$时，$\lambda_i^*=0$，即互补松驰条件$\lambda_i^*c_i(x^*)=0$。若将目标函数梯度的系数取定为1，上述条件即KKT条件。
4. 二阶最优性条件即凹凸要求，即拉格朗日函数的二阶梯度在驻点处约束超曲面的切平面所形成的子空间上正定。

机器学习

1. 验证/开发集用于调整超参数，测试集用于检查模型泛化能力
2. 高偏差/偏置（bias）指过多的泛化，过多的假设；高方差（variance）指过多的拟合，过多的参数（过少的假设）
3. RNN的展开图可以从左下往右上看就是从输入到输出

格式说明：1234567表示和弦级数，“，”分隔不同小节，“ ”分隔同一小节和弦，M表示大和弦，m表示小和弦，其余符号标记在括号内，如IVm7-5表示为4m(7-5)，但顺阶和弦的大小不会标出。歌曲名字下标记出调式（不严格按照原歌曲调式）

誰かが傷ついても

bB大调（其实是g小调，懒得改了）

6，4，2 5，1

4，2，7，3

4，5，6 5，4

2，6，2，3M

6，3，4 5，1

4，3，2，3M

6，3，4 5，1

4，3，2 5，6，2 5，4，6

綺麗で儚いもの

#F大调

1 3，6，5 4，1 5

1 3，6，1 2，4 5

6 5，4，6 5，4

2 5，3 6，4

1(add9)，5

4，1，2 b6，6，4，1，2，5

4，1，2 b6，6，4 5，3 6，2 5，1

import numpy as np
import cv2

def zmMinFilterGray(src, r=7):
    '''最小值滤波，r是滤波器半径'''
    return cv2.erode(src, np.ones((2*r+1, 2*r+1)))                    
def guidedfilter(I, p, r, eps):
    '''引导滤波，直接参考网上的matlab代码'''
    height, width = I.shape
    m_I = cv2.boxFilter(I, -1, (r,r))
    m_p = cv2.boxFilter(p, -1, (r,r))
    m_Ip = cv2.boxFilter(I*p, -1, (r,r))
    cov_Ip = m_Ip-m_I*m_p
  
    m_II = cv2.boxFilter(I*I, -1, (r,r))
    var_I = m_II-m_I*m_I
  
    a = cov_Ip/(var_I+eps)
    b = m_p-a*m_I
  
    m_a = cv2.boxFilter(a, -1, (r,r))
    m_b = cv2.boxFilter(b, -1, (r,r))
    return m_a*I+m_b
  
def getV1(m, r, eps, w, maxV1):  #输入rgb图像，值范围[0,1]
    '''计算大气遮罩（暗通道）图像V1和光照值A, V1 = 1-t/A'''
    V1 = np.min(m,2)                                       #得到暗通道图像
    #V1 = inverse_color_01(V1)
    
    # cv2.imshow("dark channel", V1)
    # cv2.waitKey(0) 
    V1 =guidedfilter(V1, zmMinFilterGray(V1,7), r, eps)   #使用引导滤波优化
    bins = 2000
    ht = np.histogram(V1, bins)                           #计算大气光照A
    d = np.cumsum(ht[0])/float(V1.size)
    for lmax in range(bins-1, 0, -1):
        if d[lmax]<=0.999:
            break
    A  = np.mean(m,2)[V1>=ht[1][lmax]].max()
    V1 = np.minimum(V1*w, maxV1)                   #对值范围进行限制
    return V1,A

  
def deHaze(m, r=81, eps=0.001, w=0.95, maxV1=0.80):
    Y = np.zeros(m.shape)
    V1,A = getV1(m, r, eps, w, maxV1)               #得到遮罩图像和大气光照
    for k in range(3):
        Y[:,:,k] = (m[:,:,k]-V1)/(1-V1/A)           #颜色校正
    Y =  np.clip(Y, 0, 1)
    return Y

def interpo(x, middle_ratio, max_x, max_num):
# 自定义的直方图
#|      /\
#|    /    \
#|  /        \
#|/____ratio___\___
#
    if not 0<=x<=max_x:
        return 0
    elif x<middle_ratio*max_x:
        return int(max_num/(middle_ratio*max_x)*x)+1
    else:
        return int(max_num - max_num/(255-middle_ratio*max_x)*(x-middle_ratio*max_x))+1

def func(ratio):
# 使用自定义的直方图曲线func()生成直方图实例化图像
    ret = []
    for i in range(256):
        ret = ret + [i]*interpo(i, ratio, 255, 1000)
    return np.array(ret)

def find_nearest_above(my_array, target):
    diff = my_array - target
    mask = np.ma.less_equal(diff, -1)
    # We need to mask the negative differences
    # since we are looking for values above
    if np.all(mask):
        c = np.abs(diff).argmin()
        return c # returns min index of the nearest if target is greater than any value
    masked_diff = np.ma.masked_array(diff, mask)
    return masked_diff.argmin()

def hist_match(original, specified):

    oldshape = original.shape
    original = original.ravel()
    specified = specified.ravel()

    # get the set of unique pixel values and their corresponding indices and counts
    s_values, bin_idx, s_counts = np.unique(original, return_inverse=True,return_counts=True)
    t_values, t_counts = np.unique(specified, return_counts=True)
   
    # Calculate s_k for original image
    s_quantiles = np.cumsum(s_counts).astype(np.float64)
    s_quantiles /= s_quantiles[-1]
    
    # Calculate s_k for specified image
    t_quantiles = np.cumsum(t_counts).astype(np.float64)
    t_quantiles /= t_quantiles[-1]

    # Round the values
    sour = np.around(s_quantiles*255)
    temp = np.around(t_quantiles*255)
    
    # Map the rounded values
    b=[]
    for data in sour[:]:
        b.append(find_nearest_above(temp,data))
    b= np.array(b,dtype='uint8')

    return b[bin_idx].reshape(oldshape)

def hist_match_all(img):
# 对图像的每个通道都进行直方图规定化，使用func()中定义的直方图进行规定
    result = np.zeros_like(img)
    for i in range(3):
        specified = func(0.2)
        result[:,:,i] = hist_match(img[:,:,i], specified)
    return result

def image_hist(image): #画三通道图像的直方图
   color = ("blue", "green", "red")#画笔颜色的值可以为大写或小写或只写首字母或大小写混合
   for i, color in enumerate(color):
       hist = cv2.calcHist([image], [i], None, [256], [0, 256])
       plt.plot(hist, color=color)
       plt.xlim([0, 256])
   plt.show()

def normalize(img):
# 将像素最大值小于255的图像归一化到255
    return (img/np.max(img)*255).astype(np.uint8)

def hist_match_dark_prior(img, dark=False):
# 基于暗/亮通道的直方图规定化
    result = img.copy()
    for i in range(3):
        result[:,:,i] = cv2.equalizeHist(result[:,:,i])
    if dark==False:
        dark_prior = np.min(result, axis=2)
    else:
        dark_prior = np.max(result, axis=2)
    #image_hist(np.stack([dark_prior]*3, axis=2))
    for j in range(3):
        for i in range(3):
            result[:,:,i] = hist_match(result[:,:,i], dark_prior)
    result = normalize(result)

    #image_hist(result)
    return result

if __name__=="__main__":
    img = cv2.imread("filename")
    img = hist_match_all(img)
    img = dehaze255(img)
    cv2.imwrite("filename_write", img)

再放一个pytorch版的：

import torch


def torch_equalize(image):
    """Implements Equalize function from PIL using PyTorch ops based on:
    https://github.com/tensorflow/tpu/blob/master/models/official/efficientnet/autoaugment.py#L352"""
    def scale_channel(im, c):
        """Scale the data in the channel to implement equalize."""
        im = im[:, :, c]
        # Compute the histogram of the image channel.
        histo = torch.histc(im, bins=256, min=0, max=255)#.type(torch.int32)
        # For the purposes of computing the step, filter out the nonzeros.
        nonzero_histo = torch.reshape(histo[histo != 0], [-1])
        step = (torch.sum(nonzero_histo) - nonzero_histo[-1]) // 255
        def build_lut(histo, step):
            # Compute the cumulative sum, shifting by step // 2
            # and then normalization by step.
            lut = (torch.cumsum(histo, 0) + (step // 2)) // step
            # Shift lut, prepending with 0.
            lut = torch.cat([torch.zeros(1), lut[:-1]]) 
            # Clip the counts to be in range.  This is done
            # in the C code for image.point.
            return torch.clamp(lut, 0, 255)

        # If step is zero, return the original image.  Otherwise, build
        # lut from the full histogram and step and then index from it.
        if step == 0:
            result = im
        else:
            # can't index using 2d index. Have to flatten and then reshape
            result = torch.gather(build_lut(histo, step), 0, im.flatten().long())
            result = result.reshape_as(im)
        
        return result.type(torch.uint8)

    # Assumes RGB for now.  Scales each channel independently
    # and then stacks the result.
    image = image.type(torch.float)
    s1 = scale_channel(image, 0)
    s2 = scale_channel(image, 1)
    s3 = scale_channel(image, 2)
    image = torch.stack([s1, s2, s3], 2)
    return image


def find_nearest_above(my_array, target):
    diff = my_array - target
    mask = diff <= -1
    # We need to mask the negative differences
    # since we are looking for values above
    if torch.all(mask):
        c = torch.abs(diff).argmin()
        return c # returns min index of the nearest if target is greater than any value
    masked_diff = diff.clone()
    masked_diff[mask] = 9999
    return masked_diff.argmin()


def hist_match(source, template):
    s = source.view(-1) 
    t = template.view(-1) 
    s_values, bin_idx, s_counts = torch.unique(s, return_inverse=True, return_counts=True) 
    t_values, t_counts = torch.unique(t, return_counts=True) 
    s_quantities = torch.cumsum(s_counts,0).type(torch.float)
    t_quantities = torch.cumsum(t_counts,0).type(torch.float)
    s_quantities = s_quantities/s_quantities[s_quantities.shape[0]-1]
    t_quantities = t_quantities/t_quantities[t_quantities.shape[0]-1]
    sour = (s_quantities * 255).type(torch.long) 
    temp = (t_quantities * 255).type(torch.long) 
    b = torch.zeros(sour.shape) 
    for i in range(sour.shape[0]):
        b[i] = find_nearest_above(temp, sour[i])

    s=b[bin_idx] 
    return s.view(source.shape)
    
def hist_match_dark_prior(img):
# input: img[h, w, c]
# output:res[h, w, c]
    result = img.clone()
    result = torch_equalize(result)
    dark_prior,_ = torch.min(result, axis=2)
    for i in range(3):
        result[:,:,i] = hist_match(result[:,:,i], dark_prior)
    return result

if __name__=='__main__':
    from PIL import Image
    import numpy as np

    im=Image.open("Night-schene-03.jpg")
    img=torch.from_numpy(np.array(im))
    img1=hist_match_dark_prior(img).numpy()
    im1=Image.fromarray(img1)
    im1.save('out.png')

G是群， $a\in G$ 则 $|a|$ 表示a的阶

$a|b$ 表示a整除b，如2|6

$a\perp b$ 表示a和b互素，如 $3\perp 5$

d是r和s的最小公倍数记作 $d=[r,s]$

群G有子群H，群G的阶是可以被子群H的阶整除的，此时我们称[G:H]为H在G下的指数，指数的多少与陪集个数是相同的

对于环)(R,+,·)，已知(R, +)是阿贝尔群。R的子集I称为R的一个右理想，若I满足：

• (I, +)构成(R, +)的子群。
• ∀i ∈ I，r ∈ R，i·r ∈ I。

如果I既是R的右理想又是R的左理想，那么I是R的理想。

设G是群，H是G的子群，称子群H在群G中的左陪集或右陪集的个数为H在G中的指数，记作 $\left[ {G:H} \right]$ 。拉格朗日定理： $|G| = |H|\left[ {G:H} \right]$

设H是群G的子群，如果对每个 $a\in G$ 都有 $aH=Ha$ 则称H是群G的正规子群，记作 $H \triangleleft G$ ，如果G只有平凡的正规子群，且 $G\neq \{e\}$ 则称G为单群

设G为群，H是G的正规子群，H的所有陪集 $G/H = \{ aH|a \in G\} $ 关于G的子集上的乘法运算构成的群称为G关于H的的商群

环R的理想 P是素理想，当且仅当它是一个真理想（也就是说，P ≠ R），且对于R的任何两个理想A和B，若有AB ⊆ P，则A ⊆ P或B ⊆ P。

任意有单位元的环一定有极大理想，a是R的极大理想当且仅当R/a是单纯环

除环 非零环 整环