群环域定义总结

G是群， $a\in G$ 则 $|a|$ 表示a的阶

$a|b$ 表示a整除b，如2|6

$a\perp b$ 表示a和b互素，如 $3\perp 5$

d是r和s的最小公倍数记作 $d=[r,s]$

群G有子群H，群G的阶是可以被子群H的阶整除的，此时我们称[G:H]为H在G下的指数，指数的多少与陪集个数是相同的

对于环)(R,+,·)，已知(R, +)是阿贝尔群。R的子集I称为R的一个右理想，若I满足：

• (I, +)构成(R, +)的子群。
• ∀i ∈ I，r ∈ R，i·r ∈ I。

如果I既是R的右理想又是R的左理想，那么I是R的理想。

设G是群，H是G的子群，称子群H在群G中的左陪集或右陪集的个数为H在G中的指数，记作 $\left[ {G:H} \right]$ 。拉格朗日定理： $|G| = |H|\left[ {G:H} \right]$

设H是群G的子群，如果对每个 $a\in G$ 都有 $aH=Ha$ 则称H是群G的正规子群，记作 $H \triangleleft G$ ，如果G只有平凡的正规子群，且 $G\neq \{e\}$ 则称G为单群

设G为群，H是G的正规子群，H的所有陪集 $G/H = \{ aH|a \in G\} $ 关于G的子集上的乘法运算构成的群称为G关于H的的商群

环R的理想 P是素理想，当且仅当它是一个真理想（也就是说，P ≠ R），且对于R的任何两个理想A和B，若有AB ⊆ P，则A ⊆ P或B ⊆ P。

任意有单位元的环一定有极大理想，a是R的极大理想当且仅当R/a是单纯环

除环 非零环 整环