泛函分析学习笔记

库拉托夫斯基闭包公理可来定义一个集上的拓扑结构，它和以开集作定义拓扑结构的公理等价：

拓扑空间 $(X,\mathrm{cl})$ 是集合X及作用在X的幂集上的闭包算子 $\mathrm{cl}:\mathcal{P}(X)\rightarrow \mathcal{P}(X)$ 且满足以下条件：

• $A\subseteq \mathrm{cl}(A)$
• $ \mathrm{cl}( \mathrm{cl}(A))= \mathrm{cl}(A)$
• $ \mathrm{cl}(A\cup B)= \mathrm{cl}(A)\cup \mathrm{cl}(B)$
• $ \mathrm{cl}(\varnothing)=\varnothing$

A是闭集，如果 $A=\mathrm{cl}(A)$

开集：所有点都是内点，至多可数个开集的并

闭集：开集的余

德语中使用G表示开，F表示闭，δ 表示交，σ表示并

因此Fδ集是闭集的交（有理数集就是一个Fδ集），开集都是Fσ集，闭集都是Gδ集

$\mathcal{B}(X,Y)$ 表示从赋范线性空间X到Y的有界线性算子集。若Y是Banach空间（完备赋范线性空间），则 $\mathcal{B}(X,Y)$ 是Banach空间