常见数学符号说明

通用

:= 定义为

$\mathbb{N}:=\{1,2,3,\cdots\}\subseteq\{0,1,2,\cdots\}=:\mathbb{Z}^+$ ， $\mathbb A_K^n:=\langle K^n,K^n,+\rangle$ 是域K上的n维仿射空间，$\mathbb A^n:=\langle \mathbb R^n,\mathbb R^n,+\rangle$ 是n维实仿射空间

$\mathbb{R}^+:=[0,\infty)$ ， $M_{nk}(\mathbb R)$ 表示实n×k维矩阵； $\mathrm M_n(\mathbb C)$ 是n阶复方阵集合

$\mathcal L(E;F)$ 是从向量空间E到F的所有连续线性映射集合，连续线性映射要把单位闭球（ $||u||\leq1$ ）映射到有界集中； $\mathrm{Hom}(E,F)$ 是从向量空间E到F的所有线性映射集合

$\mathrm D f(x)(u)=\mathrm D f_x(u) $

$=df(x)(u)=df_x(u)$

$=f^\prime_x=f^\prime(x)$

$=\left( \frac{\partial f}{\partial x_1}(x) \cdots\frac{\partial f}{\partial x_n}(x) \right)\begin{pmatrix} u_1 \\ \vdots \\ u_n \end{pmatrix}$

观察以上公式可以发现，其实$f:E\to F$ 在 $x\in E$ 处的全微分（Fréchet derivative） $\mathrm D f(x)=\mathrm D f_x=df(x)=df_x$ 是一个线性形式（余向量）， $df_x:\vec E\to \vec F \in \mathrm{Hom}(\vec E,\vec F)$

$f:E\to F$ 在 $x\in E$ 点的 $u\in \vec E$ 方向上的方向导数（Gâteaux derivative） $\mathrm D_u f(x)\in \vec F$

$\mathrm D_u f(a)=\mathrm D f(a)(u)$

集合B的示性函数 $I_B(s):=\left\{ \begin{array}{lcl} 1,\quad &if \quad s\in B\\ 0,\quad &otherwise \end{array} \right. $

$a\wedge b:=\min(a,b)\quad a\vee b:=\max(a,b)$

$\mathfrak{R}z, \mathrm{Re}(z)$ 表示复数z的实部， $\mathfrak{I}z,\mathrm{Im}(z)$ 表示复数z的虚部

概率论

设 $\mathcal{F}$ 是样本空间 $\Omega$ 的集类（由若干子集构成）且满足 $\Omega\in\mathcal F$ 且对有限次集合运算封闭，则 $\mathcal F$ 是样本空间的一个 $\sigma$ 域。若有定义在 $\mathcal F$ 上的集函数 $P:\mathcal F\rightarrow[0,\infty]$ 且满足非负性、完全性、可列可加性，则称 $P$ 是可测空间 $(\Omega,\mathcal F)$ 上的一个概率测度，简称概率，称 $(\Omega,\mathcal F,P)$ 为概率空间，称 $P(A)$ 为事件A的概率，若概率为0的事件的任何子集都属于 $\mathcal F$ ，则称$(\Omega,\mathcal F,P)$为完备的概率空间。随机变量是一个函数 $X:\Omega\rightarrow\mathbb R$ ，随机过程是一个二元单值函数 $X(t,\omega):T\times\Omega\rightarrow\mathbb R$ ，固定样本点 $\omega_0\in\Omega$ ，称 $X(t,\omega_0)$ 为随机过程 $X(t,\omega)$ （ 也可写作$X_t,X_t(\omega),X(t)$ ）的样本函数

CF:特征函数 DF:分布函数 pdf:概率密度函数

$\sigma$ 代数： $\sigma(\mathcal{C})$ ; $\sigma(Y_\gamma:\gamma\in\mathcal{C})$

$E(X;F):=\int_F X \mathrm{d}P$

$E(X/\mathcal{G})$ 条件期望

$x=\uparrow \lim x_n:x_n\uparrow x$ ，即满足 $x_n\leq x_{n+1}(\forall n)且x_n\rightarrow x$

$x=\downarrow \lim x_n:x_n\downarrow x$ ，即满足 $x_n\geq x_{n+1}(\forall n)且x_n\rightarrow x$

$\lim\inf x_n:=\sup\limits_m\{\inf\limits_{n\geq m}x_n\}=\uparrow \lim\limits_m\{\inf\limits_{n\geq m} x_n\}$

$\lim\sup x_n:=\inf\limits_m\{\sup\limits_{n\geq m}x_n\}=\downarrow \lim\limits_m\{\sup\limits_{n\geq m} x_n\}$

$(En,\mathrm{ev}):= \lim\inf E_n:=\mathop\cup_m\mathop\cap_{n\geq m}E_n$

$(E_n,\mathrm{i.o.}):=\lim\sup E_n:=\mathop\cap_m\mathop\cup_{n\geq m}E_n$

$\mathcal L_X,\Lambda_X$ X的分布

$\mathcal L^p, L^p$ 勒贝格空间

$\mathrm{Leb}$ 勒贝格测度

$m\Sigma$ $\Sigma$ -可测函数空间

$M^T$ 在时间T停止的过程

$\langle M \rangle$ 尖括号过程

$\mu(f)$ $f$ 的关于 $\mu$ 的积分

$\mu(f;A):=\int_A f\mathrm{d}\mu$

$\varphi_X$ $X$ 的特征函数

微分几何

设$A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1k} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & \cdots & a_{nk}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A_1 \\ \vdots \\ A_n \end{pmatrix}$ ，$I=(i_1,\cdots,i_k)$ ， $1\leq i_1 < \cdots < i_k \leq n \in \{1,\cdots,n\}$

则定义A的基本k形式表示n维空间中平行六面体投影到k维的体积：$\mathrm{d}x_I(A)=\mathrm{d}x_{i_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{d}x_{i_k}(A)=\mathrm{det}\begin{pmatrix} A_{i_1}\\ \vdots \\ A_{i_k} \end{pmatrix}$

以向量空间 $\mathbb R^n$ 的 $\begin{pmatrix}n \\ k\end{pmatrix}$ 个基本k形式为基底可以构成向量空间 $\wedge^k(\mathbb R^n)$

k形式 $\omega$ 是一个多重线性实值函数 $\omega: M_{nk}(\mathbb R)\rightarrow \mathbb R$ ，它是$\wedge^k(\mathbb R^n)$中的一个向量

$A=(A_1,\cdots,A_{k+l})$ 是一个N×(k+l)矩阵， $\tau$ 是k形式， $\omega$ 是l形式，则：

$\tau \wedge \omega(A)=\sum\limits_{\sigma\in S(k,l)}(-1)^{sign(\sigma)}\tau(A_{\sigma(1)},\cdots,A_{\sigma(k)})\omega(A_{\sigma(k+1)},\cdots,A_{\sigma(k+l)})$

微分k形式 $\omega = \sum\limits_{\text{all possible }I}f_I \mathrm d x_I$ ，微分0形式就是一个可微函数

外微分d是从k形式到k+1形式的映射 $\mathrm d:k\text{-forms}\rightarrow (k+1)\text{-forms}$ ，给定以上定义的微分k形式 $\omega$ ，外微分 $\mathrm d \omega=\sum\limits_{\text{all possible }I}\mathrm d f_I\wedge\mathrm d x_I$ ，其中 $f_I$ 是微分0形式， $\mathrm d f_I=\sum\limits_{i\in I} \frac{\partial f}{\partial x_i}\mathrm d x_i$

给定一个流形M的参数化映射 $\phi:R^k \supseteq B\rightarrow M$ ，它在点p的切空间 $T_p(M)$ 的基底是雅可比矩阵 $D\phi$ 中的列向量，且有 $\int_M \omega=\int_B \omega(D\phi)\mathrm d u_1\cdots\mathrm d u_k$

$\int_M \mathrm d \omega=\int_{\partial M}\omega$

代数

（k,l）shuflle是置换群 $S_n,(n:=k+l)$ 的一个置换 $\sigma$ ，满足 $\sigma(1)<\sigma(2)<\cdots<\sigma(k),\sigma(k+1)<\sigma(k+2)<\cdots<\sigma(k+l)$

$sign(\sigma)=\left\{ \begin{array}{lcl} 0, \quad \text{if }\sigma\text{ is even }\\ 1, \quad \text{if }\sigma\text{ is odd}\end{array} \right.$

$\sim$ 是集合S的一个等价关系，对 $\forall a\in S$ ，S的一个等价类 $[a]=\{x\in S|x\sim a\}$ ，S在等价关系下的商集是S的全体等价类的集合，记作 $S/\sim$

$\mathrm{GL}(n,\mathbb R)$ 是n阶广义线性群， $\mathrm{GL}(n,\mathbb R) \subseteq M_{n}(\mathbb R)$ ； $\mathrm{GL}(V)$ 是从向量空间V到V的线性变换群；如果$\mathrm{GL}(n,\mathbb R)$的元素$A$满足$\mathrm{det}(A)=1$，叫做特殊线性群，记为$\mathrm{SL}(n,\mathbb R)$；满足$QQ^\top=Q^\top Q=I_n$的n阶实矩阵关于矩阵乘法构成的群叫正交群，记为$\mathbf{O}(n, \mathbb R)$；如果$\mathrm{det}(Q)=1$，则称为特殊正交群，记为$\mathbf{SO}(n, \mathbb R) $

参考文献

[1] 应用随机过程 白晓东 ISBN：978-7-302-50734-5 O211.6

[2] 概率和鞅 戴维·威廉姆斯著 郑坚坚译 ISBN：978-7-312-04368-0 O21