代数几何笔记
Do not be seduced by the lotus-eaters into infatuation with untethered abstraction. --The rising sea: foundations of algebraic geometry
范畴论
范畴 $\mathscr{C}$ 由对象 $\mathrm{obj}(\mathscr{C})$ 和态射 $\mathrm{hom}(\mathscr{C})$ 构成。如果一个对象是一个集合，那么态射就是映射，记为 $\mathrm{Sets}$ ； $(S,\geq )$ 也是一个范畴，对象是S中的元素，xy之间存在态射如果存在偏序关系；对于拓扑空间X，$(X,\subset)$ 是一个偏序集，因此也是一个范畴
从A对象到B对象的态射集记为 $\mathrm{Mor}(A,B)$ ，态射复合满足结合律
对每一个对象A都存在恒等态射 $\mathrm{id}_A: A\rightarrow A$
如果态射 $f:A\rightarrow B$ 和 $g:B\rightarrow A$ 复合后得到恒等态射，则f和g是同构
对象A的同构 $f:A\rightarrow A$ 叫做自同构
$\mathscr{A}$ 是 $\mathscr{B}$ 的子范畴，如果 $\mathscr{A}\subset \mathscr{B}$ 且$\mathscr{A}$的态射来自于$\mathscr{B}$，包含所有的恒等态射，且关于复合运算封闭
$F:\mathscr{A}\rightarrow \mathscr{B}$ 是协变函子，如果对于任意$\mathscr{A}$中的态射 $m:A_1\rightarrow A_2$ 和$\mathscr{B}$中的态射 $F(m):F(A_1)\rightarrow F(A_2)$ ，有对任意 $A\in \mathscr{A}$ ， $F(\mathrm{id}_A)=\mathrm{id}_{F(A)}$ ，且保持态射复合运算 $\circ$ ：$F(m_1\circ m_2)=F(m_1)\circ F(m_2)$ 。反变函子会反转复合运算$\circ$：$F(m_1\circ m_2)=F(m_2)\circ F(m_1)$
从向量空间范畴 $\mathrm{Vec}_k$ 到集合范畴 $\mathscr{A}$ 的函子把每个线性变换变成集族$\mathscr{A}$内集合间的映射，额外的向量空间性质丢失，因此这个函子是遗忘函子
基本群是所有从某点出发的环路的同伦（拓扑变形）等价类，乘法由环路的衔接给出（先走一条环路，后走另一条）。X在基点p的基本群记为 $\pi _{1}(X,p)$ 。 圆环 $\mathbb{S}^1$ 的基本群是 $\mathbb{Z}$ ，其元素一一对应于 $e_{m}:t\mapsto e^{2i\pi mt}$ ，其中 $m\in \mathbb {Z}$ 表示环路绕行圆环的次数（计入方向）。
如果一个小范畴（即：对象与全体态射构成一集合）的所有态射皆可逆，则称之为一个广群。所有广群与其间的函子构成一个范畴。群是只有一个对象的广群。
$A\in \mathscr{C}$ ，协变函子 $h^A:\mathscr{C}\rightarrow \mathrm{Sets}$ 把对象 $B\in \mathscr{C}$ 送到 $\mathrm{Mor}(A,B)$ ，把 $f:B_1\rightarrow B_2$ 送到 $\mathrm{Mor}(A,B_1)\rightarrow \mathrm{Mor}(A,B_2)$ ，后者的例子为 $f:B_1\mapsto B_2 \overset {h^A}{\Rightarrow} [g:A\rightarrow B_1]\mapsto [f\circ g:A\rightarrow B_1\rightarrow B_2]$ ；反变函子 $h_A:\mathscr{C}\rightarrow \mathrm{Sets}$ 把对象 $B\in \mathscr{C}$ 送到 $\mathrm{Mor}(B,A)$ ，把 $f:B_1\rightarrow B_2$ 送到 $\mathrm{Mor}(B_2,A)\rightarrow \mathrm{Mor}(B_1,A)$ ，后者的例子为 $f:B_1\mapsto B_2 \overset {h_A}{\Rightarrow} [g:B_2\rightarrow A]\mapsto [g\circ f:B_1\rightarrow B_2\rightarrow A]$，这两种函子称为点函子（functor of points）
如果对所有的 $A,A'\in\mathscr{A}$ ，映射 $\mathrm{Mor}_\mathscr A (A,A')\rightarrow \mathrm{Mor}_\mathscr B (F(A),F(A'))$ 都是一对一的，那么协变函子 $F:\mathscr A \rightarrow \mathscr B$ 是忠实的；如果映射是映上的，那么F是满的，一个既满又忠实的函子是满忠实函子
子范畴 $\mathscr A$的包含函子 $i:\mathscr A\rightarrow \mathscr B$ 是满范畴如果i是满的。包含函子总是忠实的。遗忘函子总是忠实的，但不满；如果A是一个环，那么有限生成A模是范畴 $\mathrm{Mod}_A$ 的满的子范畴
同调函子 $\mathrm H_i(\cdot,\mathbb Z):\mathrm{Top}\rightarrow \mathrm{Ab}$ 是协变函子，余调函子 $\mathrm H^i(\cdot,\mathbb Z):\mathrm{Top}\rightarrow \mathrm{Ab}$ 是反变函子
$\mathscr C$ 的一个对象是始对象如果它有一个到任一对象的映射，是终对象如果它有一个从任一对象来的映射，是零对象如果它既是初始对象又是终止对象
一个积性子集 $S$ 是是环 $A$ 在乘法运算下的闭子集，且包含乘法单位元1；定义环 $S^{-1}A$， 其中的元素 $\frac a s$ 满足 $a\in A,s\in S$ ，且 $\frac{a_1}{s_1}=\frac{a_2}{s_2}\Leftrightarrow \exists s\in S,s(s_2 a_1-s_1 a_2)=0$ ，并定义加法 $\frac{a_1}{s_1}+\frac{a_2}{s_2}=\frac{s_2a_1+s_1a_2}{s_1s_2}$ ，乘法 $\frac{a_1}{s_1}\times \frac{a_2}{s_2}=\frac{a_1a_2}{s_1s_2}$ ，则存在正则环映射 $A\rightarrow S^{-1}A$ 由 $a\mapsto a/1$ 给出； $A\hookrightarrow S^{-1}A \Leftrightarrow$ S不包含零因子（ $\hookrightarrow$ 表示包含映射，即一对一映射）；如果A是一个整环， $S=A-\{0\}$ ，则$S^{-1}A$是A的分式环，记为 $K(A)$
环 $S^{-1}A$是A代数B(环映射 $A\to B$ )作为态射构成的范畴中的始对象，这个范畴中的每个S的元素都被送到B中的可逆元素；换句话说，任何一个把S中每个元素送到可逆元素的映射 $A\to B$ 都可以使用映射 $A\to S^{-1}A$ 进行唯一分解；换句话说，任何一个从 $S^{-1}A$ 出发的映射，和从A出发把S中元素映到可逆元素的映射，是一个东西；此外， $S^{-1}A$ 模和A模是一个东西，同构由 $s\times\cdot:M\to M$ ， $s\in S$ 给出
始态射是逗号范畴中的始对象，其中逗号范畴中的态射为交换块（commutative squares）
推出)
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